Henri Poincaré

Henri Poincaré (1854-1912) est un mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français. Il a réalisé des travaux d'importance majeure en optique et en calcul infinitésimal. Ses avancées sur le problème des trois corps en font un fondateur de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos.

Il est aussi un précurseur majeur de la théorie de la relativité restreinte et de la théorie des systèmes dynamiques. Il est considéré comme un des derniers grands savants universels, maîtrisant en particulier l'ensemble des branches des mathématiques de son époque.

Citations de Henri Poincaré

• Douter de tout ou tout croire sont deux solutions également commodes, qui l’une et l’autre nous dispensent de réfléchir.
• La pensée n’est qu’un éclair au milieu de la nuit. Mais c’est cet éclair qui est tout.
• L'esprit n'use de sa faculté créatrice que quand l'expérience lui en impose la nécessité.
• On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison.
• C'est avec la logique que nous prouvons et avec l'intuition que nous trouvons.
• On résout les problèmes qu’on se pose et non les problèmes qui se posent.
• La géométrie n'est pas vrai, elle est avantageuse.
• Le monde et la science ont leurs données propres, qui se touchent et ne se pénètrent pas. L'une nous montre à quel but nous devons viser, l'autre, le but étant donné, nous donne les moyens de l'attendre.

Problème à trois corps

Les spécialistes de mécanique céleste (Newton, Poincaré...) planchent sur le célèbre problème de trois corps s’attirant mutuellement (ex : Terre, Soleil, Lune) depuis environ 300 ans. Résultat de cette quête : aux quelques rares familles de solutions particulières, deux physiciens serbes viennent d’en ajouter 13 autres, qui, peut-être, pourraient s'appliquer à des systèmes d'exoplanètes.

Il s'agit d'un problème mathématique fondamental pour l'astronomie classique, dans lequel les effets de la relativité générale peuvent être négligés : vitesses des corps petites devant la vitesse de la lumière dans le vide, et champs de gravitation faibles, ce qui est essentiellement le cas dans le Système solaire.

Il s'agit de trouver toutes les solutions mathématiques possibles des équations différentielles décrivant les mouvements de trois astres s'attirant les uns les autres sous l'effet de la gravitation.

La conjecture de Poincaré

émise par Henri Poincaré en 1904 et prouvée par Grigori Perelman en 2002.

En bref, la boule est le seul espace tridimensionnel fermé dépourvu de trous. Ainsi, tout corps qui ne contient pas de trous et qui n'est pas tordu peut être transformé en sphère. On peut aussi dire, que si on s’interdit toute déchirure (ou collage), il n’existe aucune déformation d’un ballon, même élastique, en une bouée.

De la deuxième à la troisième dimension...

Propriété bidimensionnelle : toute surface fermée et sans trou est, du point de vue topologique, équivalente à la sphère bidimensionnelle (décrite par deux coordonnées indépendantes, par exemple la latitude et la longitude). La conjecture de Poincaré affirme que cette propriété est également vraie en dimension trois.

La théorie du chaos

De nombreux physiciens pensent que leur science du XXe siècle se résume à trois découvertes : la relativité, la mécanique quantique et… le chaos.

. La relativité d'Einstein a fait sortir la physique de l'autoroute newtonienne où l'espace et le temps sont absolus.

. La mécanique quantique a également bousculé les principes newtoniens selon lesquels tout était mesurable.

. Enfin, la théorie du chaos a montré que le monde n'avait pas une prédictibilité déterministe...

Théorie du chaos (suite)

La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques rigoureusement déterministes, mais qui présentent un phénomène fondamental d'instabilité appelé « sensibilité aux conditions initiales » qui, modulo une propriété supplémentaire de récurrence, les rend non prédictibles en pratique à « long » terme. Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

• le phénomène de sensibilité aux conditions initiales,
• une forte récurrence.

La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné qualifié à juste titre de « chaotique ». Ils s'opposent aux systèmes intégrables de la mécanique classique, longtemps considérés comme les symboles d'une régularité toute puissante en physique théorique.

équation différentielle

En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation auquel l'une des fonctions inconnues a été soumise.

Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, en radioactivité ou en mécanique céleste. Elles représentent un vaste champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.

Une équation différentielle est une équation liant une fonction et sa ou ses dérivée(s). La résoudre revient à trouver une expression générale pour toutes ses solutions.

La relativité restreinte

Son élaboration est attribuée à Albert Einstein en 1905 (mais dont les bases étaient déjà présentes dans les travaux de Poincaré) : Elle a établi de nouvelles formules permettant de passer d'un référentiel galiléen à un autre.

Les équations correspondantes conduisent à des prévisions de phénomènes qui heurtent le sens commun (mais aucune de ces prévisions n'a été infirmée par l'expérience), un des plus surprenants étant le ralentissement des horloges en mouvement, qui a permis de concevoir l'expérience de pensée souvent appelée paradoxe des jumeaux. Ce phénomène est parfois utilisé en science-fiction.

Elle eut un impact en philosophie en éliminant toute possibilité d'existence d'un temps et de durées absolus dans l'ensemble de l'univers (Newton). à la suite d'Henri Poincaré, elle a forcé les philosophes à se poser différemment la question du temps et de l'espace.