Distributivité - développement et factorisation

Les cours de maths concours, au collège ( 6^ème, 5^ème, 4^èmeet 3^ème) et au primaire (cm2, cm1, ce2, ce1, cp)

$Mathématiques$ Distributivité : addition et soustraction

La multiplication est distributive par rapport à l'addition ou à la soustraction. Ainsi, quels que soient les nombres, on a :

Distributivité et addition k x ( a + b) = ?		Distributivité et soustraction k x ( a - b) = ?
$distributivité et addition$ (on fait k fois a plus k fois b)		$distributivité et soustraction$ (on fait k fois a moins k fois b)

Exemples : 7 x (4 + 3) = 7 x 4 + 7 x 3 = 28 + 21 = 49 9 x (4 + 1) = 9 x 4 + 9 x 1 = 36 + 9 = 45		Exemples : 7 x (4 - 3) = 7 x 4 - 7 x 3 = 28 - 21 = 7 9 x (4 - 1) = 9 x 4 - 9 x 1 = 36 - 9 = 27

Distributivité : addition et soustraction $distributivité addition et soustraction$ (on fait k fois a plus k fois b moins k fois c )
Exemples : 7 x (4 + 3 - 2 ) = 7 x 4 + 7 x 3 - 7 x 2 = 28 + 21 - 14 = 35 5 x (3 + 2 - 4 ) = 5 x 3 + 5 x 2 - 5 x 4 = 15 + 10 - 20 = 5

$Mathématiques$ Le saviez-vous ? Le signe "x" (fois) n'est pas obligatoire :

devant une lettre :
- 8 x b = 8b
- 9 x a = 9a
- 1 x d = d = d

ou devant une parenthèse...

3 x (a + 5) = 3 (a + 5) = 3a + 3 x 5 = 3a + 35
4 x (5 + 6) = 4 (5 + 6) = 4 (11) = 44
5 x (2 x 5) - 4 x (6 x 1) = 5 (2 x 5) - 4 (6 x 1) = 5 (10) - 4 (6) = 50 - 24 = 26

Habituez-vous à cette écriture, car c'est la forme la plus courante au collège et au lycée...

$Mathématiques$ Développer un produit

Développer un produit, c'est le transformer en somme. Pour ce faire, on distribue un facteur :

Avec des additions : k x (a + b) = k x a + k x b = ka + kb => ici le facteur distribué est k.
- 8 x (5 + 3) = 8 x 5 + 8 x 3 = 40 + 24 = 64 => ici le facteur distribué est 8.
Avec des soustractions : k x (a - b) = k x a - k x b = ka - kb => ici le facteur distribué est k
- 4 x (3 - 1) = 4 x 3 - 4 x 1 = 12 - 4 = 8 => ici le facteur distribué est 4.
Avec des additions et des soustractions : k x (a - b + c) = k x a - k x b + k x c = ka - kb + kc=> ici le facteur distribué est k
- 3 x (3 - 2 + 7) = 3 x 3 - 3 x 2 + 3 x 7 = 9 - 6 + 21 = 24 => ici le facteur distribué est 3.

$Mathématiques$ Factoriser une addition ou une soustraction

Factoriser une somme, c'est la transformer en produit de facteurs. Pour ce faire on recherche le facteur commun.

Avec des additions, k x a + k x b = k (a + b) => ici le facteur commun est k
- 7 x 3 + 7 x 5 => ici le facteur commun est 7 => 7 (3 + 5)
- 4 x 3 + 8 = ? 4 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 4 x 3 + 4 x 2 => ici le facteur commun est 4 => 4 (3 + 2)
- 14 x 3 + 7 x 5 = ? 7 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 7 x 2 x 3 + 7 x 5 => ici le facteur commun est 7 => 7 (2 x 3 + 5) = 7 (6 + 5)
- 10 a + 15 b = ? 5 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 5 x 2 a + 5 x 3 b => ici le facteur commun est 5 => 5 (2a + 3b)
Avec des soustractions , k x a - k x b = k (a - b) => ici le facteur commun est k
- 6 x 3 - 6 x 5 => ici le facteur commun est 6 => 6 (3 - 5)
- 6 x 3 - 3 x 5 = ? 3 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 3 x 2 x 3 - 3 x 5 => ici le facteur commun est 3 => 3 (2 x 3 - 3) = 3 (6 - 5)
- 2a - 4b = ? 2 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 2a + 2 x 2b => ici le facteur commun est 2 => 2 (a + 2b)
- 2a - 18= ? 2 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 2a - 2 x 9 => ici le facteur commun est 2 => 2 (a - 9)
Avec des additions et des soustractions , k x a - k x b + k x c= k (a - b + c) => ici le facteur commun est k
- 4 x 3 + 4 x 5 - 4 x 2 => ici le facteur commun est 4 => 4 (3 - 5)
- 16 x 3 + 4 x 5 - 4 x 2 = ? 4 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 4 x 4 x 3 + 4 x 5 - 4 x 2 => ici le facteur commun est 4 => 4 (4 x 3 + 5 - 2) = 4 (12 + 3)
- 2a + 6b - 8c = ? 2 semble être le facteur commun => transformons un peu l'écriture)...
  - 2a + 2 x 3b - 2 x 4c => ici le facteur commun est 2 => 2 (a + 3b - 4c)