Expressions littérales

C'est quoi ?

Une expression littérale est une expression qui utilise des lettres. Cela permet de décrire un calcul, d'établir une formule ou encore d'écrire des égalités.

• Certaines expressions sont toujours vraies comme :
  • a x b = b x a
  • a - 2 = -2 + a
• d'autres sont vraies que pour certaines valeurs données à la lettre (nommée inconnue) et fausses pour d'autres :
  • 2 x a = 4 :
    • => cela est vrai si a = 2 => 2 x 2 = 4, on dit que l'expression est vraie pour a = 2.
    • => mais cela est faux si a = 1 => 2 x 1 différent de 4, on dit que l'expression est fausse pour a = 1.
  • 3 + x = 5 :
    • => cela est vrai si x = 2 => 3 + 2 = 5, on dit que l'expression est vraie pour x = 2.
    • => mais cela est faux si x = 0 => 3 + 0 différent de 5, on dit que l'expression est fausse pour x = 0.

   

Simplifier une écriture littérale

Pour simplifier l'écriture, on regroupe ensemble les termes de même nature, pour en éliminer quelques uns, pour la présenter plus simplement ou pour effectuer plus facilement les calculs:

• A = 7a + 14 - 7 => 7a + 7
• B = 3a + 4a + 5 => on met a en facteur => a (3 + 4) + 5 = 7a + 5
• C = a + 2 - 3 - a => on regroupe les termes de même nature => a - a + 2 - 3 = 0 - 1 = -1
• D = 3r + 4 - 6r x 3 => on calcule la multiplication (prioritaire) => 3r + 4 - 18r => on regroupe les termes de même nature => 3r - 18r + 4 = 15r + 4
• E = 4 + (6r x 3 +2) => on fait les calculs entre les parenthèses => 4 - (18r + 2) => on supprime les parenthèses => 4 + 18r + 2 => on regroupe les termes de même nature => 4 + 2 + 18r = 6 + 18r
• F = 4 - (6r x 3 +2) => on fait les calculs entre les parenthèses => 4 - (18r + 2) => on supprime les parenthèses => 4 - 18r - 2 => on regroupe les termes de même nature => 4 - 2 - 18r = 2 - 18r.

Le saviez-vous ?

• - (1 + a) = -1 - a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - (1 + a) = -1 x (1 + a) = -1 x 1 + -1 x a = -1 + -a.
• - (1 - a) = -1 + a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - (1 - a) = (-1) x (1 - a) = (-1) x 1 - (-1) x a = -1 + a
• - (- a) = + a = a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - ( - a) = (-1) x ( - a) = (-1) x - a = + a
• - (+ a) = - a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - ( - a) = (-1) x ( + a) = (-1) x a = - a

Résoudre des équations

Une éqation est une égalité dans laquelle il y a un nombre inconnu, remplacé par une lettre (ex : 3 + x = 8).

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie.

• 3 + x = 8 est vraie si x = 8 - 3 = 5. Donc 5 est la solution de l'équation.
• 3 x a = 12 est vraie si a = 12:3 = 4. Donc 4 est la solution de l'équation.

Pour résoudre une équation, il faut être capable d'isoler x (x doit se retrouver tout seul d'un côté ou de l'autre de l'égalité).Pour cela il faut apprendre à bouger les termes de l'équation comme on le désire.

Le saviez-vous ?

Lorqu'un terme passe de l'autre côté du signe égal, il change de nature... Conseil : prenez le temps qu'il faut pour maîtriser ce mécanisme... cela vous sera très utile !

• les + deviennent -
  • x + 3 = 4 => x = 4 - 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a enlevé 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x + 3 -3 = 4 - 3 => x = 4 - 3
  • 7 = x + 4 => 7 - 4 = x
    • Ici on a enlevé 4 de chaque côté du signe = pour éliminer le +4.
  • a - x = b => a - b - x = 0 => a - b = x
    • ici, on a enlevé b de chaque côté du signe = pour éliminer le b,
    • puis, on a ajouté x de chaque côté du signe = pour éliminer le x.
• les - deviennent +
  • x - 3 = 4 => x = 4 + 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a ajouté 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x - 3 + 3 = 4 + 3 => x = 4 + 3
  • 8 = -4 + x => 8 + 4 = x
    • ici, on a ajouté 4 de chaque côté du signe = pour éliminer le -4.
• les x deviennent des :
  • x X 3 = 4 => x = 4 : 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a divisé par 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x X 3 : 3 = 4 : 3 => x = 4 : 3
  • 5 = x X 6 => 5 : 6 = x
    • ici, on a divisé par 6 de chaque côté du signe = pour éliminer le 6.
• les : deviennent x
  • x : 3 = 4 => x = 4 X 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a multiplié par 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x X 3 : 3= 4 X 3 => x X 1 = 4 X 3 => x = 4 X 3
  • 5 = x : 3 => 5 x 3 = x
    • ici, on a multiplié par 3 de chaque côté du signe = pour éliminer le 3.

Voici un petit tableau récapitulatif des transformations possibles. Conseil : ne les apprenez pas par coeur, mais essayez de voir comment on a réalisé les transformations pour isoler x. Retenez que lorqu'un terme passe de l'autre côté du signe égal, il change de nature...

Le saviez-vous ?

• -x = 7 => x = -7
  • en effet, pour arriver à ce résultat, on a multiplié (ou divisé) par -1 de chaque côté du signe égal => -x X -1 = 7 X -1 => x = -7.
• -2x = 16 => x = -8
  • en effet, pour arriver à ce résultat, on a divisé par -2 de chaque côté du signe égal =>-2x : -2 = 16 : -2 => x = -8.

Utiliser une formule

Utiliser une formule, c'est être capable de trouver ce que l'on cherche à l'aide d'une formule donnée plus ou moins complexe.

• La formule du périmètre d'un rectangle est : P = (L + l) x 2. L représente la longueur et l la largeur. Sachant que L = 5 m et l = 2 m, quel est le périmètre du rectangle ?
  • Dans la formule, on remplace L et l par les valeurs indiquées pour trouver le périmètre soit :
    • P = 5 x 2 = 10 m.
• La loi d'ohm est : U = R x I. U représente la tension, R la résistance et I l'intensité du courant électrique. Sachant que U = 220 volt et R = 22 ohm, quelle est l'intensité en ampères du courant I ?
  • On sait que U = R x I, donc I = U : R = 220 : 22 = 10 Ampères.
    • Pour isoler I, on a diviser par R de chaque côté de =. Donc U : R = R : R x I => U : R = 1 x I => U : R = I.

Produire une formule

C'est être capable de décrire un problème sous la forme d'une expression littérale.

• Exemple : J'avais 5 bonbons; j'en ai mangé 2, il m'en reste 3. L'opération est : 5 - 2 = 3.
  • Formule pour connaître le nombre de bonbons mangés : on remplace par x le nombre de bonbons mangé dans l'opération : 5 - x = 3
    • Formule générale :
      • a - x = b avec x (le nombre de bonbons mangés), a (le nombre de bonbons total) et b (le nombre de bonbons restant).
        • Exemple chiffré : j'avais 10 bonbons au total et il m'en reste 4. Combien en ai-je mangé ?
          On cherche x (le nombre de bonbons mangés) en appliquant la formule : a - x = b. Donc, x = a - b. On remplace a et b par les valeurs => x = 10 - 4 = 6. Donc, 6 est la solution de mon problème.