Expressions littérales

C'est quoi ?

Une expression littérale est une expression qui utilise des lettres. Cela permet de décrire un calcul, d'établir une formule ou encore d'écrire des égalités.

• Certaines expressions sont toujours vraies comme :
  • a x b = b x a
  • a - 2 = -2 + a
• d'autres sont vraies que pour certaines valeurs données à la lettre (nommée inconnue) et fausses pour d'autres :
  • 2 x a = 4 :
    • => cela est vrai si a = 2 => 2 x 2 = 4, on dit que l'expression est vraie pour a = 2.
    • => mais cela est faux si a = 1 => 2 x 1 différent de 4, on dit que l'expression est fausse pour a = 1.
  • 3 + x = 5 :
    • => cela est vrai si x = 2 => 3 + 2 = 5, on dit que l'expression est vraie pour x = 2.
    • => mais cela est faux si x = 0 => 3 + 0 différent de 5, on dit que l'expression est fausse pour x = 0.

   

Supprimer les parenthèses

La multiplication est distributive par rapport à l'addition : (a + b) = ka + kb

• 4(a + b) = 4a + 4b
• -4(a + b) = (-4)a + (-4)b = -2a - 3b
• 3(a - b) = 3(a + (-)b) = 3a + 3(-b) = 3a - 3b
• -(a + b) = (-1)a + (-1)b = -a - b
• -(a - b) = -(a + (-b)) = (-1)a + (-1)(-b) = -a + b

Développer et réduire une expression

Cela consiste à supprimer les parenthèses et à simplifier l'écriture de l'expression en réduisant ses termes semblables.

• Pour supprimer les parenthèses, on se rappelle que la multiplication est distributive par rapport à l'addition : K(a + b) = ka + kb
• Pour réduire (simplifier) l'écriture, on regroupe ensemble les termes de même nature, pour en éliminer quelques uns, pour la présenter plus simplement ou pour effectuer plus facilement les calculs
  • Développer et réduire l'expression A = 6(3x - 3) + 8(-x - 6)
    • On supprime les parenthèses : A = 18x - 18 - 8x - 48
    • On regroupe les termes de même nature : A = 18x - 8x -18 - 48
    • On réduit les termes semblables : A = 10x - 66
  • Développer et réduire l'expression B = - (x² + x - 3) + 2(3x - 4)
    • On supprime les parenthèses : B = -x² - x + 3 + 6x - 8
    • On regroupe les termes de même nature : B = -x² - x + 6x + 3 - 8
    • On réduit les termes semblables : B = -x² + 5x - 5 (Attention, on ne peut pas additionner des x² avec des x, car ils ne sont pas semblables)
  • Autres exemples de réduction ou de développement réduction :
    • C = 7a + 14 - 7 => 7a + 7
    • D = 3a + 4a + 5 => on met a en facteur => a (3 + 4) + 5 = 7a + 5
    • E = a + 2 - 3 - a => on regroupe les termes de même nature => a - a + 2 - 3 = 0 - 1 = -1
    • F = 3r + 4 - 6r x 3 => on calcul la multiplication (prioritaire) => 3r + 4 - 18r => on regroupe les termes de même nature => 3r - 18r + 4 = 15r + 4
    • G = 4 + (6r x 3 +2) => on fait les calculs entre les parenthèses => 4 - (18r + 2) => on supprime les parenthèses => 4 + 18r + 2 => on regroupe les termes de même nature => 4 + 2 + 18r = 6 + 18r
    • H = 4 - (6r x 3 +2) => on fait les calculs entre les parenthèses => 4 - (18r + 2) => on supprime les parenthèses => 4 - 18r - 2 => on regroupe les termes de même nature => 4 - 2 - 18r = 2 - 18r.

Le saviez-vous ?

• - (1 + a) = -1 - a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - (1 + a) = -1 x (1 + a) = -1 x 1 + -1 x a = -1 + -a.
• - (1 - a) = -1 + a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - (1 - a) = (-1) x (1 - a) = (-1) x 1 - (-1) x a = -1 + a
• - (- a) = + a = a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - ( - a) = (-1) x ( - a) = (-1) x - a = + a
• - (+ a) = - a => Attention, lorsque l'on supprime les parenthèses situées après un -, les moins deviennent les plus et les plus deviennent des moins.
  • => En effet, - ( - a) = (-1) x ( + a) = (-1) x a = - a

Résoudre des équations

Une équation est une égalité dans laquelle il y a un nombre inconnu, remplacé par une lettre (ex : 3 + x = 8).

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie.

• 3 + x = 8 est vraie si x = 8 - 3 = 5. Donc 5 est la solution de l'équation.
• 3 x a = 12 est vraie si a = 12:3 = 4. Donc 4 est la solution de l'équation.

Pour résoudre une équation, il faut être capable d'isoler x (x doit se retrouver tout seul d'un côté ou de l'autre de l'égalité).Pour cela il faut apprendre à bouger les termes de l'équation comme on le désire.

Lorqu'un terme passe de l'autre côté du signe égal, il change de nature... Conseil : prenez le temps qu'il faut pour maîtriser ce mécanisme... cela vous sera très utile !

• les + deviennent -
  • x + 3 = 4 => x = 4 - 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a enlevé 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x + 3 -3 = 4 - 3 => x = 4 - 3
  • 7 = x + 4 => 7 - 4 = x
    • Ici on a enlevé 4 de chaque côté du signe = pour éliminer le +4.
  • a - x = b => a - b - x = 0 => a - b = x
    • ici, on a enlevé b de chaque côté du signe = pour éliminer le b,
    • puis, on a ajouté x de chaque côté du signe = pour éliminer le x.
• les - deviennent +
  • x - 3 = 4 => x = 4 + 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a ajouté 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x - 3 + 3 = 4 + 3 => x = 4 + 3
  • 8 = -4 + x => 8 + 4 = x
    • ici, on a ajouté 4 de chaque côté du signe = pour éliminer le -4.
• les x deviennent des :
  • x X 3 = 4 => x = 4 : 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a divisé par 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x X 3 : 3 = 4 : 3 => x = 4 : 3
  • 5 = x X 6 => 5 : 6 = x
    • ici, on a divisé par 6 de chaque côté du signe = pour éliminer le 6.
• les : deviennent x
  • x : 3 = 4 => x = 4 X 3
    • en fait pour arriver à ce résultat, on a multiplié par 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
      • x X 3 : 3= 4 X 3 => x X 1 = 4 X 3 => x = 4 X 3
  • 5 = x : 3 => 5 x 3 = x
    • ici, on a multiplié par 3 de chaque côté du signe = pour éliminer le 3.

Voici un petit tableau récapitulatif des transformations possibles. Conseil : ne les apprenez pas par coeur, mais essayez de voir comment on a réalisé les transformations pour isoler x. Retenez que lorqu'un terme passe de l'autre côté du signe égal, il change de nature...

Le saviez-vous ?

• -x = 7 => x = -7
  • en effet, pour arriver à ce résultat, on a multiplié (ou divisé) par -1 de chaque côté du signe égal => -x X -1 = 7 X -1 => x = -7.
• -2x = 16 => x = -8
  • en effet, pour arriver à ce résultat, on a divisé par -2 de chaque côté du signe égal =>-2x : -2 = 16 : -2 => x = -8.