Les nombres relatifs

Comparaison

Additions et soustractions simples

Multiplications et divisions simples

Expressions plus complexes (avec +,-,x et :)

C'est quoi ?

Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe + ou un signe -.

• Le signe + désigne un nombre relatif positif (> 0). Attention, pour les nombres relatifs positifs, on peut ne pas mettre de signe.
  • + 3,8 = 3,8
  • + 5 = 5
  • 7 = + 7
• Le signe - désigne un nombre relatif négatif (< 0).
  • - 3,8
  • - 5
• Le zéro est à la fois positf et négatif

Comparaison des nombres relatifs

Schématiquement, on peut aussi se représenter les nombres relatifs sur un axe gradué sur lequel les nombres relatifs sont rangés dans l'ordre croissant : sur la gauche les nombres relatifs négatifs et sur la droite les nombres relatifs positifs.

Pour comparer des nombres relatifs, pensez aux températures !

		- 10° C < +10 °C (moins dix degrés est moins chaud que plus dix degrés)
		- 10° C < 0 °C (moins dix degrés est moins chaud que zéro degré)
		- 5,5 ° C < - 4 °C (moins 5,5 degrés est moins chaud que moins 4 degrés)
		0 ° C < 1 °C (0 degré est moins chaud que 1 degré)
		- 5,5 ° C < 5,5 °C (moins 5,5 degrés est moins chaud que plus 5,5 degrés)
		6 ° C < 7 °C (plus 6 degrés est moins chaud que plus 7 degrés)
		-8,5° C < -8° C < -7° C < -5° C < -1° C < -0,3° C < 0° C < 0,5° C < 1° C < 1,6° C < 1,7° C < 4° C < 7° C < 8,5° C

Le saviez-vous ? Un nombre positif est TOUJOURS SUPERIEUR à un nombre négatif :

• +2 > -3
• +2 > -2,1
• +2 > -1

Addition de nombres relatifs

Règle 1: Pour additionner des nombres de même signe, on ajoute les valeurs et on garde le signe commun.

• (+6 ) + (+9) = +15 => on ajoute les valeurs 6 + 9 = 15 et on garde le signe commun + => + 15
• (-6) + (-9) = -15 => on ajoute les valeurs 6 + 9 = 15 et on garde le signe commun- => - 15

Avec 3 nombres ou plus :

• (+6 ) + (+9) + (+5) = +20 => on ajoute les valeurs 6 + 9 + 5 = 20 et on garde le signe commun + => + 20
• (-6) + (-9) + (-5) = -20 => on ajoute les valeurs 6 + 9 + 5 = 20 et on garde le signe commun - => - 20

Règle 2: Pour additionner des nombres de signes différents, on prend le signe de celui qui a la plus "grande valeur" et on fait "plus grand moins plus petit".

• (+5) + (-8) = -3 => on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le moins, de -8) et on fait plus grand moins plus petit 8 - 5 = 3 => - 3
• (-5) + (+8) = +3 => on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le plus, de +8) et on fait plus grand moins plus petit 8 - 5 = 3 => + 3
• (-5) + (8) = +3 => on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le plus, de 8, en effet, le nombre relatif +8 = 8) et on fait plus grand moins plus petit 8 - 5 = 3 => + 3

Avec 3 nombres ou plus :

• (+5) + (-8) + (-7) = -10 :
  1. => on regroupe et on additionne d'abord les nombres relatifs de même signe entre eux : (-8) + (-7) = (-15). On a maintenant (+5) + (-15)
  2. puis on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le moins, de -15) et on fait plus grand moins plus petit 5 - 15 = 10 => - 10
• (+3) + (-8) + (+7) = -3 :
  1. => on regroupe et on additionne d'abord les nombres relatifs de même signe entre eux : (+3) + (+7) = (+10). On a maintenant (+10) + (-8)
  2. puis on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le plus, de +10) et on fait plus grand moins plus petit 10 - 8 = 2 => + 2

Remarque : la somme de deux nombres opposés est égale à 0.

• (+7) + (-7) = 0
• (-1) + (+1) = 0
• (-9) + (9) = 0 => en effet, 9 = + 9

Soustraction de nombres relatifs

Règle 3 : pour soustraire, on ajoute l'opposé et on applique les règles de l'addition des nombres relatifs => on transforme ainsi les soustractions en additions.

DEFINITION : a - b = a + opposé (b) = a + (-b)

=> 1- on transforme donc une soustraction en addition

=> 2- on peut donc appliquer les règles de l'addition pour calculer l'expression

Nota : l'opposé de -1, c'est 1 et l'opposé de 2, c'est -2.

• (+6) - (+7) = -1
  1. Transformation en addition => (+6) + opposé de (+7) = (+6) + (-7)
  2. on applique les règles de l'addition de nombres relatifs de signes différents => on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le moins, de -7) et on fait plus grand moins plus petit 7 - 6 = 1 => - 1
• (+4) - (-9) = +13
  1. Transformation en addition => (+4) + opposé de (-9) = (+4) + (+9)
  2. on applique les règles de l'addition de nombres relatifs de même signe => on ajoute les valeurs 4 + 9 = 13 et on garde le signe + => + 13
• (-3) - (+6) = (-3) + (-6) = -9
• (-3) - (-6) = (-3) + (+6) = +3

Avec 3 nombres ou plus :

• (-5) - (-8) - (-7) = + 10
  1. Transformation en addition => on ajoute les opposés => (-5) + opposé de (-8) + opposé de (-7) = (-5) + (+8) + (+7)
  2. => on regroupe et on additionne d'abord les nombres relatifs de même signe entre eux : (+8) + (+7) = (+15). On a maintenant (-5) + (+15)
  3. puis on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le moins, de +15) et on fait plus grand moins plus petit 15 - 5 = 10 => + 10
• (+3) - (-9) - (+2) = + 10
  1. Transformation en addition => on ajoute les opposés => (+3) + opposé de (-9) + opposé de (+2) = (+3) + (+9) + (-2)
  2. => on regroupe et on additionne d'abord les nombres relatifs de même signe entre eux : (+3) + (+9) = (+12). On a maintenant (+12) + (-2)
  3. puis on prend le signe du nombre qui a la plus "grande valeur" (ici le plus, de +12) et on fait plus grand moins plus petit 12 - 2 = 10 => + 10

Simplification de l'écriture d'une somme algébrique

On peut simplifier l'éciture d'une somme algébrique en utilisant la définition de la soustraction. Rappel : a - b = a + opposé (b) = a + (-b).

Ce faisant, l'écriture simplifiée de :

• 9 - (-5) = 9 + 5 => astuce - - = +
• 9 + (-5) = 9 - 5 => astcue + - = -
• 9 - (+5) = 9 - 5 => astcue - + = -

Multiplication, division de nombres relatifs

Règle 1 : Le produit de deux nombres de même signe est positif.

• (+4) x (+8) = +32 = 32
• (-4) x (-8) = +32 = 32
• (-3) x (-4) = +12 = 12

Règle 2 : Le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

• (+4) x (-8) = -32
• (-4) x (+8) = -32
• (-2) x (+7) = -14
• 5 x (-7) = -35
• -5 x 7 = -35

Avec 2, 3 nombres ou plus...

Astuce :

1. Je fais comme s'il n'y avait que des signes +
2. si les nombres relatifs négatifs sont en nombre impair, le résultat est négatif, s'il est en nombre pair, il est positif :
   • (-4) x (+8) x (+2) = ?
     1. 4 x 8 x 2 = 64
     2. => il y a 1 nombre négatif (impair) => résultat négatif = -64
   • (-4) x (+8) x (-2) = ?
     1. 4 x 8 x 2 = 64
     2. => Il y a 2 nombres négatifs => pair, résultat positif = +64
   • (-4) x (-8) x (-2) = ?
     1. 4 x 8 x 2 = 64
     2. => Il y a 3 nombres négatifs => impair, résultat négatif = -64

Règle 3 : Les règles des signes pour la division sont les mêmes que pour la multiplication entre deux nombres relatifs.

Règle 1 : La division de deux nombres de même signe est positif.

• (+8) : (+4) = +2 = 2
• 8 : 4 = 2
• (-8) : (-4) = +2 = 2
• (-6) : (-2) = +3 = 3

Règle 2 : La division de deux nombres de signes différents est un négatif.

• (+8) : (-4) = -2
• (-8) : (+4) = -2
• (-9) : (+3) = -3
• - 10 : 2 = - 5
• 10 : (-2) = - 5

 

Avec 2, 3 nombres ou plus...

Astuce :

1. Je fais comme s'il n'y avait que des signes +
2. si les nombres relatifs négatifs sont en nombre impair, le résultat est négatif, s'il est en nombre pair, il est positif :
   • (-8) : (+4) : (+2) = ?
     1. 8 : 4 : 2 = 1
     2. => il y a 1 nombre négatif (impair) => résultat négatif = -1
   • (-8) : (+4) : (-2) = ?
     1. 4 : 8 : 2 = 1
     2. => Il y a 2 nombres négatifs => pair, résultat positif = +1
   • (-8) : (-4) : (-2) = ?
     1. 4 : 8 : 2 = 64
     2. => Il y a 3 nombres négatifs => impair, résultat négatif = -1

Le saviez-vous ?

• Pour tout nombre relatif a : 0 x a = a x 0 = 0.
  • 23 x 0 = 0
  • 0 x 23 = 0
• On ne peut pas faire de division par 0.