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Cours de maths et exercices : résoudre des équations et inéquations du premier degré
Cours et exercices de maths : résoudre des équations et inéquations du premier degré

Mathématiques

Résolution : inéquation et équation

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MathématiquesRésoudre des inéquations du premier degré à une inconnue

Savoirs indispensables

  1. On ne change pas le sens d'une inégalité si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres de cette inégalité :
    • Si a < b, alors a + c < b + c et a - c < b - c
      • Si 4 < 6, alors 4 + 2 < 6 + 2, c'est-à-dire 6 < 8
      • Si 4 < 6, alors 4 - 7 < 6 - 7, c'est-à-dire -3 < -1
  2. On ne change pas le sens d'une inégalité si on multiplie ou si on divise les deux membres de cette inégalité par un nombre strictement positif.
    • Si a < b avec c > 0, alors a x c < b x c et a : c < b : c
      • Si 4 < 6, alors 4 x 2 < 6 x 2, c'est-à-dire 8 < 12
      • Si 4 < 6, alors 4 : 2 < 6 : 2 , c'est-à-dire 2 < 3
  3. On change le sens d'une inégalité si on multiplie ou si on divise les deux membres de cette inégalité par un nombre strictement négatif.
    • Si a < b avec c < 0, alors a x c > b x c et a : c > b : c
      • Si 4 < 6, alors 4 x -2 > 6 x -2, c'est-à-dire -8 > -12
        • Si -4 > -6, alors -4 x -2 < -6 x -2, c'est-à-dire 8 < 12
      • Si 4 < 6, alors 4 : -2 > 6 : -2 , c'est-à-dire -2 > -3
        • Si -4 > -6, alors -4 : -2 < -6 : -2 , c'est-à-dire 2 < 3

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

Tout comme pour les équations du premier degré, pour résoudre une inéquation, il faut être capable d'isoler x (x doit se retrouver tout seul d'un côté ou de l'autre de l'inégalité).Pour cela il faut apprendre à manipuler les termes de l'équation comme on le désire.

Exemple : résoudre l'inéquation 6x + 8 < 10x - 12 et représenter sur une droite graduée l'ensemble des solutions.

On cherche à isoler x :

  • On élimine d'abord + 8 en ajoutant son opposé dans chaque membre
    • 6x + 8 - 8 < 10x - 12 - 8 => 6x < 10x - 20
  • On élimine maintenant +10x en ajoutant son opposé -10x
    • 6x - 10x < 10x -10x - 20 =>- 4x < - 20
  • Finalement, on divise par -4 pour isoler x. Cependant, comme on divise par un chiffre négatif (-4), on doit changer le sens de l'inégalité.
    • (- 4x) : -4 > - 20 : -4 => x > 5

Représentation sur une droite graduée...

droite des solutions et inéquations

Les solutions de l'inéquation en rouge sur la figure ci-dessus sont les nombres strictement supérieur à 5. 5 n'est pas une solution, donc le crochet n'est pas dirigé vers les solutions "]".

doites et inéquations

MathématiquesRAPPEL : Résoudre des équations du premier degré à une inconnue

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie.

  • 3 + x = 8 est vraie si x = 8 - 3 = 5. Donc 5 est la solution de l'équation.
  • 3 x a = 12 est vraie si a = 12:3 = 4. Donc 4 est la solution de l'équation.

Pour résoudre une équation, il faut être capable d'isoler x (x doit se retrouver tout seul d'un côté ou de l'autre de l'égalité).Pour cela il faut apprendre à manipuler les termes de l'équation comme on le désire.

Lorqu'un terme passe de l'autre côté du signe égal, il change de nature... Conseil : prenez le temps qu'il faut pour maîtriser ce mécanisme... cela vous sera très utile !

  • les + deviennent -
    • x + 3 = 4 => x = 4 - 3
      • en fait pour arriver à ce résultat, on a enlevé 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
        • x + 3 -3 = 4 - 3 => x = 4 - 3
    • 7 = x + 4 => 7 - 4 = x
      • Ici on a enlevé 4 de chaque côté du signe = pour éliminer le +4.
    • a - x = b => a - b - x = 0 => a - b = x
      • ici, on a enlevé b de chaque côté du signe = pour éliminer le b,
      • puis, on a ajouté x de chaque côté du signe = pour éliminer le x.
  • les - deviennent +
    • x - 3 = 4 => x = 4 + 3
      • en fait pour arriver à ce résultat, on a ajouté 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
        • x - 3 + 3 = 4 + 3 => x = 4 + 3
    • 8 = -4 + x => 8 + 4 = x
      • ici, on a ajouté 4 de chaque côté du signe = pour éliminer le -4.
  • les x deviennent des :
    • x X 3 = 4 => x = 4 : 3
      • en fait pour arriver à ce résultat, on a divisé par 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
        • x X 3 : 3 = 4 : 3 => x = 4 : 3
    • 5 = x X 6 => 5 : 6 = x
      • ici, on a divisé par 6 de chaque côté du signe = pour éliminer le 6.
  • les : deviennent x
    • x : 3 = 4 => x = 4 X 3
      • en fait pour arriver à ce résultat, on a multiplié par 3 de chaque côté de l'équation pour éliminer ce qui nous intéresse :
        • x X 3 : 3= 4 X 3 => x X 1 = 4 X 3 => x = 4 X 3
    • 5 = x : 3 => 5 x 3 = x
      • ici, on a multiplié par 3 de chaque côté du signe = pour éliminer le 3.

 

Voici un petit tableau récapitulatif des transformations possibles. Conseil : ne les apprenez pas par coeur, mais essayez de voir comment on a réalisé les transformations pour isoler x. Retenez que lorqu'un terme passe de l'autre côté du signe égal, il change de nature...

Equation
la solution
Exemple

a + x = b

  • ici, on a enlevé a de chaque côté de =. Donc, a - a + x = b - a => x = b - a
x = b - a
5 + x = 7 => x = 7 - 5 = 2. Donc 2 est solution de l'équation.

a - x = b

  • ici, on a enlevé b de chaque côté de =. Donc, a - x - b = b - b => a - x - b = 0
  • puis, on a ajouter x de chaque côté de =. Donc, a - x + x - b = + x => a - b = x
x = a - b

5 - x = 7 => x = 5 - 7 = -2. Donc -2 est solution de l'équation.

5 - x = -7 => x = 5 - (-7) = 12. Donc 12 est solution de l'équation.

ax = b

  • ici, on a divisé par a de chaque côté de =. Donc, ax : a = b : a => x = b : a
x = b : a

5x = 7 => x = 7 : 5. Donc 7:5 est solution de l'équation.

2x = -8 => x = -8 : 2 = -4. Donc -4 est solution de l'équation.

a : x = b

  • ici, on a multiplié par x de chaque côté de =. Donc, a X x : x = b X x => a = b X x
  • Puis, on a divisé par b de chaque côté du signe =. Donc, a : b = b : b X x => a : b = x
x = a : b

5 : x = 7 => x = 5 : 7. Donc 5 : 7 est solution de l'équation.

(-9) : x = 3 => x = (-9) : 3 = 3. Donc 3 est solution de l'équation.

x : a = b

  • ici, on a multiplié par a de chaque côté de =. Donc x X a : a = b X a => x = b x a => x = a x b
x = a x b

x : 5 = 7 => x = 5 x 7 = 35. Donc 35 est solution de l'équation.

-x : 3 = 6 => -x = 6 x 3 => x = - 6 x 3 = -18. Donc -18 est solution de l'équation.