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Cours de maths et exercices : identités remarquables et expressions littérales (développer et réduire)
Cours et exercices de maths : expressions littérales et identités remarquables

Mathématiques

Expressions littérales et identités remarquables

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Les cours de maths concours, au collège ( 6ème, 5ème, 4èmeet 3ème) et au primaire (cm2, cm1, ce2, ce1, cp)

Supprimer les parenthèses

La multiplication est distributive par rapport à l'addition : k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb

  • 4(a + b) = 4a + 4b
  • -4(a + b) = (-4)a + (-4)b = -2a - 3b
  • 3(a - b) = 3(a + (-)b) = 3a + 3(-b) = 3a - 3b
  • -(a + b) = (-1)a + (-1)b = -a - b
  • -(a - b) = -(a + (-b)) = (-1)a + (-1)(-b) = -a + b

Développer et réduire une expression

Cela consiste à supprimer les parenthèses et à simplifier l'écriture de l'expression en réduisant ses termes semblables.

  • Pour supprimer les parenthèses, on se rappelle que la multiplication est distributive par rapport à l'addition : k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb
  • Pour réduire (simplifier) l'écriture, on regroupe ensemble les termes de même nature, pour en éliminer quelques uns, pour la présenter plus simplement ou pour effectuer plus facilement les calculs
    • Développer et réduire l'expression A = 6(3x - 3) + 8(-x - 6)
      • On supprime les parenthèses : A = 18x - 18 - 8x - 48
      • On regroupe les termes de même nature : A = 18x - 8x -18 - 48
      • On réduit les termes semblables : A = 10x - 66
    • Développer et réduire l'expression B = - (x² + x - 3) + 2(3x - 4)
      • On supprime les parenthèses : B = -x² - x + 3 + 6x - 8
      • On regroupe les termes de même nature : B = -x² - x + 6x + 3 - 8
      • On réduit les termes semblables : B = -x² + 5x - 5 (Attention, on ne peut pas additionner des x² avec des x, car ils ne sont pas semblables)
    • Autres exemples de réduction ou de développement réduction :
      • C = 7a + 14 - 7 => 7a + 7
      • D = 3a + 4a + 5 => on met a en facteur => a (3 + 4) + 5 = 7a + 5
      • E = a + 2 - 3 - a => on regroupe les termes de même nature => a - a + 2 - 3 = 0 - 1 = -1
      • F = 3r + 4 - 6r x 3 => on calcule la multiplication (prioritaire) => 3r + 4 - 18r => on regroupe les termes de même nature => 3r - 18r + 4 = 15r + 4
      • G = 4 + (6r x 3 +2) => on fait les calculs entre les parenthèses => 4 - (18r + 2) => on supprime les parenthèses => 4 + 18r + 2 => on regroupe les termes de même nature => 4 + 2 + 18r = 6 + 18r
      • H = 4 - (6r x 3 +2) => on fait les calculs entre les parenthèses => 4 - (18r + 2) => on supprime les parenthèses => 4 - 18r - 2 => on regroupe les termes de même nature => 4 - 2 - 18r = 2 - 18r.

Identités remarquables

Les identités remarquables sont 3 égalités importantes utilisées pour développer ou factoriser une expression.

  • Le carré d'une somme
    • (a + b)² = a² + 2ab + b²
      • Exemple développement de (4x + 9)²
        • (4x + 9)² de la forme (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a= 4x et b=9
        • donc, (4x)² + 2X4xX9 + 9² = 16x² + 72x + 81
      • Exemple factorisation de 9 + 24x + 16x²
        • Il n'y a pas de facteur commun aux 3 termes de l'expression, donc on s'oriente vers les identités remarquables.
        • 9 + 24x + 16x² de la forme (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a= 3 et b=4x
        • En effet, = 3² = 9 ; =(4x)² = 16x² ; 2ab = 2 X 3 X 4x = 24x
        • Donc, 9 + 24x + 16x² = (3 + 4x)²
  • Le carré d'une différence
    • (a - b)² = a² - 2ab + b²
      • Exemple développement de (4x - 9)²
        • (4x - 9)² de la forme (a - b)² = a² - 2ab + b² avec a= 4x et b=9
        • donc, (4x)² - 2X4xX9 + 9² = 16x² - 72x + 81
      • Exemple factorisation de 9 - 24x + 16x²
        • Il n'y a pas de facteur commun aux 3 termes de l'expression, donc on s'oriente vers les identités remarquables.
        • 9 - 24x + 16x² de la forme (a - b)² = a² - 2ab + b² avec a= 3 et b=4x
        • En effet, = 3² = 9 ; =(4x)² = 16x² ; 2ab = 2 X 3 X 4x = 24x
        • Donc, 9 - 24x + 16x² = (3 - 4x)²
  • Le produit d'une somme et de la différence
    • (a + b) (a - b) = a² - b²
      • Exemple montrer que P est un entier. P = (racine - racine) ( racine + racine)
        • P de la forme (a + b) (a - b) = a² - b² avec a = racine et b = racine
        • donc, P = (racine)² - (racine)² = 7 - 3 = 4
        • P = 4 est donc bien un entier.